【三角函数基本公式大全】在数学学习中，三角函数是基础而重要的内容之一，广泛应用于几何、物理、工程等领域。掌握三角函数的基本公式，有助于提高解题效率和理解能力。以下是对三角函数常见公式的总结，便于查阅和记忆。
一、基本定义
设角 $ \theta $ 的终边与单位圆交于点 $ (x, y) $，则：
| 函数名称 | 定义式 |
| 正弦 | $ \sin\theta = y $ |
| 余弦 | $ \cos\theta = x $ |
| 正切 | $ \tan\theta = \frac{y}{x} $（$ x \neq 0 $） |
| 余切 | $ \cot\theta = \frac{x}{y} $（$ y \neq 0 $） |
| 正割 | $ \sec\theta = \frac{1}{x} $（$ x \neq 0 $） |
| 余割 | $ \csc\theta = \frac{1}{y} $（$ y \neq 0 $） |
二、基本关系式
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 倒数关系 | $ \sin\theta = \frac{1}{\csc\theta} $ $ \cos\theta = \frac{1}{\sec\theta} $ $ \tan\theta = \frac{1}{\cot\theta} $ |
| 商数关系 | $ \tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} $ $ \cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta} $ |
| 平方关系 | $ \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 $ $ 1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta $ $ 1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta $ |
三、诱导公式（角度变换）
| 角度变换 | 对应的三角函数值 |
| $ \sin(-\theta) $ | $ -\sin\theta $ |
| $ \cos(-\theta) $ | $ \cos\theta $ |
| $ \tan(-\theta) $ | $ -\tan\theta $ |
| $ \sin(\pi - \theta) $ | $ \sin\theta $ |
| $ \cos(\pi - \theta) $ | $ -\cos\theta $ |
| $ \tan(\pi - \theta) $ | $ -\tan\theta $ |
| $ \sin(\pi + \theta) $ | $ -\sin\theta $ |
| $ \cos(\pi + \theta) $ | $ -\cos\theta $ |
| $ \tan(\pi + \theta) $ | $ \tan\theta $ |
四、和差角公式
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 正弦和差角 | $ \sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta $ |
| 余弦和差角 | $ \cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta $ |
| 正切和差角 | $ \tan(\alpha \pm \beta) = \frac{\tan\alpha \pm \tan\beta}{1 \mp \tan\alpha\tan\beta} $ |
五、倍角公式
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 正弦倍角 | $ \sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta $ |
| 余弦倍角 | $ \cos(2\theta) = \cos^2\theta - \sin^2\theta $ $ \cos(2\theta) = 2\cos^2\theta - 1 $ $ \cos(2\theta) = 1 - 2\sin^2\theta $ |
| 正切倍角 | $ \tan(2\theta) = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta} $ |
六、半角公式
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 正弦半角 | $ \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{2}} $ |
| 余弦半角 | $ \cos\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}} $ |
| 正切半角 | $ \tan\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{\sin\theta}{1 + \cos\theta} $ $ \tan\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{1 - \cos\theta}{\sin\theta} $ |
七、积化和差公式
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 正弦乘正弦 | $ \sin\alpha\sin\beta = \frac{1}{2}[\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)] $ |
| 正弦乘余弦 | $ \sin\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}[\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)] $ |
| 余弦乘余弦 | $ \cos\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}[\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)] $ |
八、和差化积公式
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 正弦和差 | $ \sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) $ $ \sin\alpha - \sin\beta = 2\cos\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right)\sin\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) $ |
| 余弦和差 | $ \cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) $ $ \cos\alpha - \cos\beta = -2\sin\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right)\sin\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) $ |
通过以上公式，可以系统地掌握三角函数的核心内容。在实际应用中，灵活运用这些公式，能够有效解决各种三角问题。建议结合练习题进行巩固，加深理解和记忆。