【等比数列求和公式推导】等比数列是数学中一种重要的数列形式，其特点是每一项与前一项的比值是一个常数，称为公比。在实际问题中，常常需要计算等比数列的前n项和。本文将对等比数列求和公式进行详细推导，并通过表格总结关键步骤。
一、等比数列的基本概念
设一个等比数列的首项为 $ a $，公比为 $ r $，则该数列为：
$$
a, ar, ar^2, ar^3, \ldots, ar^{n-1}
$$
其中，$ n $ 表示项数，$ r \neq 1 $（当 $ r = 1 $ 时，所有项都相等，直接求和为 $ na $）。
二、等比数列求和公式推导
我们要求的是前 $ n $ 项的和：
$$
S_n = a + ar + ar^2 + \cdots + ar^{n-1}
$$
为了推导公式，我们可以使用“错位相减法”。
1. 写出原式：
$$
S_n = a + ar + ar^2 + \cdots + ar^{n-1} \quad \text{(1)}
$$
2. 两边同时乘以公比 $ r $：
$$
rS_n = ar + ar^2 + ar^3 + \cdots + ar^n \quad \text{(2)}
$$
3. 用 (1) 式减去 (2) 式：
$$
S_n - rS_n = a - ar^n
$$
$$
(1 - r)S_n = a(1 - r^n)
$$
4. 解出 $ S_n $：
$$
S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r} \quad \text{（当 } r \neq 1 \text{ 时）}
$$
三、特殊情况处理
当 $ r = 1 $ 时，所有项都是 $ a $，因此：
$$
S_n = a + a + a + \cdots + a = na
$$
四、公式总结表
| 公式名称 | 公式表达 | 适用条件 | 说明 |
| 等比数列求和公式 | $ S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r} $ | $ r \neq 1 $ | 首项为 $ a $，公比为 $ r $ 的前 $ n $ 项和 |
| 公比为1的情况 | $ S_n = na $ | $ r = 1 $ | 所有项相等，直接相加 |
五、小结
等比数列求和公式是通过“错位相减”方法推导得出的，适用于公比不等于1的情况。若公比为1，则直接计算即可。掌握这一公式有助于解决许多实际问题，如金融中的复利计算、几何级数求和等。
如需进一步了解等比数列的性质或应用实例，可继续深入探讨。