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柯西积分公式和留数定理(柯西积分公式)

大家好,我是小新,我来为大家解答以上问题。柯西积分公式和留数定理,柯西积分公式很多人还不知道,现在让我们一起来看看吧!

1、柯西积分公式的基本内容是这样叙述的:   若函数f(z)在简单正向闭曲线C所围成的区域D内解析,在区域D的边界C上连续,Zo 是区域D内任意一点,则有   f(Zo)= 1 / 2πi ( ∮c f(z)/z-Zo dz) (不会打符号,请见谅!)   柯西积分公式对于无界区域也成立(图10.9(c)):如果无界区域 D(包含∞在内, D的边界是有限条简单闭曲线C,函数在内除了点∞外是解析的,而在闭域(D+C)上除了点∞外连续,同时当z趋于∞时存在limf(z)=f(∞),则对D内任一点z有   f(z)= f(∞) - 1 / 2πi( ∮c f(ξ)/ξ-z dξ)   (其中C的方向取负方向) [编辑本段]柯西积分公式的推导  柯西积分公式本身就是柯西积分定理最直接、最重要的推论。

2、利用我们所熟知的柯西积分定理,   其证明过程是很简洁的。

3、在此不再赘述。

4、 [编辑本段]柯西积分公式重要推论与应用  柯西积分公式是一把钥匙,他开启了许多方法与定理,以下就是重要的几个例子:    平均值定理   如果函数f(z)在圆│ξ-Zo│<R内解析,在闭圆 │ξ-Zo│≤R 上连续,则f(z)在圆心Zo的值等于它在圆周上的值的算术平均数,也即   f(Zo) = 1/2π (∫(上限2π、下限0) f(Zo + Rexp(iφ)) dφ)      证明时,只需将Z=Zo+Rexp(iφ))带入即可。

5、(见右图)   此定理对于调和函数的研究、微分方程都有很大作用,在他基础上还有很多推论,例如极值原理等定理。

6、    解析函数无穷可微性      一个解析函数不仅有一阶导数, 而且有各高阶导数, 它的 值也可用函数在边界上的值通过积分来表示. 这一点和实变函数完全不同. 一个实变函数在某一区间上可导, 它的导数在这区间上是否连续也不一定, 更不要说它有高阶导数存在了.   而利用柯西积分公式可以做数学归纳法证明如下定理:    解析函数f(z)的导数仍为解析函数, 它的n阶导数为:(见右图)   n!/ 2πi ( ∮c f(z)/(z-Zo)^(1+n) dz)   由定理可知,由函数在区域D内的 解析性,不仅推出其导数的连续性,而且也推出其各阶导数在D内存在且连续。

7、这是解析函数与一元实变量可微函数本质区别。

8、这便是解析函数所具有的极好的性质,也使得人们对它的研究更具意义,让解析函数论能够单独脱离于实函数而充满活力!    柯西不等式   其公式如右图所示,它给出了一个很有用的估计导数的方法.    Liouville定理      有界整函数必为常数.   利用柳维尔定理可以行反证法简洁证明代数学基本定理:   一元n次方程在复数域内必有解          Morera定理   即柯西积分定理的逆定理:   (柯西积分定理: 设C是一条简单闭曲线,函数f(z)在以C为边界的有界区域D内解析,在闭区域D‘上连续,那么有: f(z)对曲线的闭合积分值为零。

9、)   如果函数f(z)在区域D内连续,并且对于D内的任一条简单闭曲线C,我们有∮c f(z) dz =0   那么f(z)在区域D内解析。

10、   他刻画了解析函数的又一种定义. [编辑本段]柯西积分公式推广  设C为任意简单逐段光滑曲线,f(ξ)是在C上有定义的可积函数,则具有如下形式的积分称为柯西型积分:    1 / 2πi ( ∮c f(ξ)/ξ-z dξ) z不属于C   对于复变函数的研究颇具意义。

本文到此讲解完毕了,希望对大家有帮助。

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