您的位置:首页 >知识经验 >

柯西不等式公式及推论(柯西不等式)

大家好,我是小新,我来为大家解答以上问题。柯西不等式公式及推论,柯西不等式很多人还不知道,现在让我们一起来看看吧!

1、二维形式   (a^2+b^2)(c^2 + d^2)≥(ac+bd)^2   等号成立条件:ad=bc    三角形式   √(a^2+b^2)+√(c^2+d^2)≥√[(a-c)^2+(b-d)^2]   等号成立条件:ad=bc   注:“√”表示平方根,    向量形式   |α||β|≥|α·β|,α=(a1,a2,…,an),β=(b1,b2,…,bn)(n∈N,n≥2)   等号成立条件:β为零向量,或α=λβ(λ∈R)。

2、    一般形式   (∑ai^2)(∑bi^2) ≥ (∑ai·bi)^2   等号成立条件:a1:b1=a2:b2=…=an:bn,或ai、bi均为零。

3、   上述不等式等同于图片中的不等式。

4、    推广形式   (x1+y1+…)(x2+y2+…)…(xn+yn…)≥[(Πx)^(1/m)+(Πy)^(1/m)+…]^m   注:“Πx”表示x1,x2,…,xn的乘积,其余同理。

5、 [编辑本段]【柯西不等式的证明】   二维形式的证明    (a^2+b^2)(c^2+d^2) (a,b,c,d∈R)   =a^2·c^2 +b^2·d^2+a^2·d^2+b^2·c^2   =a^2·c^2 +2abcd+b^2·d^2+a^2·d^2-2abcd+b^2·c^2   =(ac+bd)^2+(ad-bc)^2   ≥(ac+bd)^2,等号在且仅在ad-bc=0即ad=bc时成立。

6、    一般形式的证明   求证:(∑ai^2)(∑bi^2) ≥ (∑ai·bi)^2   证明:   当a1=a2=…=an=0或b1=b2=…=bn=0时,一般形式显然成立   令A=∑ai^2 B=∑ai·bi C=∑bi^2   当a1,a2,…,an中至少有一个不为零时,可知A>0   构造二次函数f(x)=Ax^2+2Bx+C,展开得:   f(x)=∑(ai^2·x^2+2ai·bi·x+bi^2)=∑ (ai·x+bi)^2≥0   故f(x)的判别式△=4B^2-4AC≤0,   移项得AC≥B,欲证不等式已得证。

7、    向量形式的证明   令m=(a1, a2, …, an),n=(b1, b2, …, bn)   m·n=a1b1+a2b2+…+anbn=|m||n|cos<m, n>=√(a1^2+a2^2+…+an^2) ×√(b1^2+b2^2+…+bn^2) ×cos<m, n>   ∵cos<m, n>≤1   ∴a1b1+a2b2+…+anbn≤√(a1^2+a2^2+…+an^2) ×√(b1^2+b2^2+…+bn^2)   注:“√”表示平方根。

8、   注:以上仅是柯西不等式部分形式的证明。

本文到此讲解完毕了,希望对大家有帮助。

免责声明:本文由用户上传,如有侵权请联系删除!