大家好,我是小新,我来为大家解答以上问题。柯西不等式公式及推论,柯西不等式很多人还不知道,现在让我们一起来看看吧!
1、二维形式 (a^2+b^2)(c^2 + d^2)≥(ac+bd)^2 等号成立条件:ad=bc 三角形式 √(a^2+b^2)+√(c^2+d^2)≥√[(a-c)^2+(b-d)^2] 等号成立条件:ad=bc 注:“√”表示平方根, 向量形式 |α||β|≥|α·β|,α=(a1,a2,…,an),β=(b1,b2,…,bn)(n∈N,n≥2) 等号成立条件:β为零向量,或α=λβ(λ∈R)。
2、 一般形式 (∑ai^2)(∑bi^2) ≥ (∑ai·bi)^2 等号成立条件:a1:b1=a2:b2=…=an:bn,或ai、bi均为零。
3、 上述不等式等同于图片中的不等式。
4、 推广形式 (x1+y1+…)(x2+y2+…)…(xn+yn…)≥[(Πx)^(1/m)+(Πy)^(1/m)+…]^m 注:“Πx”表示x1,x2,…,xn的乘积,其余同理。
5、 [编辑本段]【柯西不等式的证明】 二维形式的证明 (a^2+b^2)(c^2+d^2) (a,b,c,d∈R) =a^2·c^2 +b^2·d^2+a^2·d^2+b^2·c^2 =a^2·c^2 +2abcd+b^2·d^2+a^2·d^2-2abcd+b^2·c^2 =(ac+bd)^2+(ad-bc)^2 ≥(ac+bd)^2,等号在且仅在ad-bc=0即ad=bc时成立。
6、 一般形式的证明 求证:(∑ai^2)(∑bi^2) ≥ (∑ai·bi)^2 证明: 当a1=a2=…=an=0或b1=b2=…=bn=0时,一般形式显然成立 令A=∑ai^2 B=∑ai·bi C=∑bi^2 当a1,a2,…,an中至少有一个不为零时,可知A>0 构造二次函数f(x)=Ax^2+2Bx+C,展开得: f(x)=∑(ai^2·x^2+2ai·bi·x+bi^2)=∑ (ai·x+bi)^2≥0 故f(x)的判别式△=4B^2-4AC≤0, 移项得AC≥B,欲证不等式已得证。
7、 向量形式的证明 令m=(a1, a2, …, an),n=(b1, b2, …, bn) m·n=a1b1+a2b2+…+anbn=|m||n|cos<m, n>=√(a1^2+a2^2+…+an^2) ×√(b1^2+b2^2+…+bn^2) ×cos<m, n> ∵cos<m, n>≤1 ∴a1b1+a2b2+…+anbn≤√(a1^2+a2^2+…+an^2) ×√(b1^2+b2^2+…+bn^2) 注:“√”表示平方根。
8、 注:以上仅是柯西不等式部分形式的证明。
本文到此讲解完毕了,希望对大家有帮助。