椭圆面积公式定积分（椭圆面积公式）

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1、原发布者:lolli★joicy

2、求解运用公式设P为椭圆上的任意一点，角F1F2P=α，F2F1P=β，F1PF2=θ，则有离心率e=sin(α+β)/(sinα+sinβ)，焦点三角形面积S=b^2*tan(θ/2)。证明方法一设F1P=m，F2P=n，2a=m+n，由射影定理得2c=mcosβ+ncosα，e=c/a=2c/2a=mcosβ+ncosα/(m+n)，由正弦定理e=sinαcosβ+sinβcosα/(sinβ+sinα)=sin(α+β)/(sinα+sinβ）。证明方法二对于焦点△F1PF2，设PF1=m,PF2=n则m+n=2a在△F1PF2中,由余弦定理:(F1F2)^2=m^2+n^2-2mncosθ即4c^2=(m+n)^2-2mn-2mncosθ=4a^2-2mn(1+cosθ)所以mn(1+cosθ)=2a^2-2c^2=2b^2所以mn=2b^2/(1+cosθ)例题F1，F2是椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的焦点，PQ是过F1的一条弦，求三角形PQF2面积的最大值【解】S△PQF2=S△QF1F2+S△QF1F2=1/2*|y2-y1|*2c=c*|y2-y1|△QF1F2与△QF1F2底边均为F1F2=2c，之后是联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理表示出|y2-y1|进行分析即可【|y1-y2|=√(1+1/k^2)[(y1+y2)^2-4y1y2]】请你看下面的一个具体例题，会对你有所启发的。设点F1是x^2/3+y^2/2=1的左焦点，弦AB过椭圆的右焦点，求三角形F1AB的面积的最大值。【解】a^2=3,b^2=2,c^2=3-2=1→→c=1∴F1F2=2c=2假设A在x上方，B在下方直线过(1,0)设直线是x-1=m(y-0)x=my+1代入2x^2+3y^2=6(2m^2+3)y^2+4my-4=0→→y1+y2=-4m/(2m^2+3),y1y2=-4/(2m^2+3)△F1AB=△F1F2A+△F1F2B他们底边都是F1F2=2则面积和最小就是高的和最小（即|y1|+|y2|最小[1]）∵AB

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