问求向量夹角公式推导过程

【求向量夹角公式推导过程】在向量运算中，求两个向量之间的夹角是一个常见的问题。这个夹角可以通过向量的点积（内积）来计算。本文将详细推导求向量夹角的公式，并以总结加表格的形式展示关键步骤和公式。

一、基本概念

1. 向量：具有大小和方向的量，通常表示为 $\vec{a} = (a_1, a_2, ..., a_n)$。

2. 点积：两个向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 的点积定义为：

$$

\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n

$$

3. 模长：向量 $\vec{a}$ 的模长为：

$$

\vec{a} = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2}

$$

二、夹角公式的推导

设两个向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 之间的夹角为 $\theta$，则根据余弦定理，可以得到：

$$

\vec{a} - \vec{b}^2 = \vec{a}^2 + \vec{b}^2 - 2\vec{a}\vec{b}\cos\theta

$$

另一方面，利用向量的点积性质，可以展开左边：

$$

\vec{a} - \vec{b}^2 = (\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{a} - 2\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{b}

$$

即：

$$

\vec{a}^2 + \vec{b}^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{b}

$$

将两式等价代入：

$$

\vec{a}^2 + \vec{b}^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{a}^2 + \vec{b}^2 - 2\vec{a}\vec{b}\cos\theta

$$

两边同时减去 $\vec{a}^2 + \vec{b}^2$，得到：

$$

-2\vec{a} \cdot \vec{b} = -2\vec{a}\vec{b}\cos\theta

$$

两边同时除以 $-2$，得：

$$

\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{a}\vec{b}\cos\theta

$$

从而可解出夹角 $\theta$ 的表达式：

$$

\cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\vec{a}\vec{b}}

$$

最终，夹角为：

$$

\theta = \arccos\left( \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\vec{a}\vec{b}} \right)

$$

三、总结与表格

步骤	内容
1	定义两个向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$
2	计算它们的点积：$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n$
3	计算各自的模长：$	\vec{a}	= \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2}$，$	\vec{b}	= \sqrt{b_1^2 + b_2^2 + \cdots + b_n^2}$
4	代入公式：$\cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{	\vec{a}		\vec{b}	}$
5	求反余弦函数：$\theta = \arccos\left( \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{	\vec{a}		\vec{b}	} \right)$

四、注意事项

- 向量必须是同一维度的，否则无法进行点积。

- 若点积为0，则两向量垂直。

- 夹角范围为 $0^\circ \leq \theta \leq 180^\circ$，对应于 $\arccos$ 的输出范围。

通过上述推导，我们得到了一个简洁而实用的向量夹角公式，广泛应用于物理、工程、计算机图形学等领域。